数个世纪以来，数学家们推导出了复杂的方程，用以描述流体力学中的基础物理原理。这些定律支配着从飓风的旋转涡流到托举飞机机翼的气流等一切现象。

专家们可以精心设计使理论与实际相悖的情景，从而引发物理上绝不可能出现的情况。这类情况（例如速度或压力等物理量趋于无穷大）被称为“奇点”或“爆破”。它们有助于数学家识别流体动力学方程中的根本局限性，并提升我们对物理世界运行机制的理解。

在一篇新论文中，我们针对描述流体运动的部分最复杂方程引入了一类全新的数学爆破。该项成果由我们与布朗大学、纽约大学及斯坦福大学等机构的数学家和地球物理学家合作发表。

我们的方法提供了一种利用人工智能（AI）技术解决数学、物理和工程学领域长期挑战的新途径，这些挑战对精度和可解释性提出了前所未有的要求。

不稳定奇点的重要性

稳定性是奇点形成的一个关键方面。如果奇点对微小变化具有鲁棒性，则被认为是稳定的。相反，不稳定奇点则需要极其精确的条件。

预计不稳定奇点将在流体力学的基础问题中发挥重要作用，因为数学家们认为，在复杂且无边界的三维欧拉和纳维-斯托克斯方程中不存在稳定奇点。在纳维-斯托克斯方程中寻找任何奇点，是著名的千禧年大奖难题中六个至今未解的问题之一。

借助我们新颖的AI方法，我们首次系统地发现了跨越三种不同流体方程的新族不稳定奇点。我们还观察到，随着解的不稳定性日益加剧，一种规律逐渐显现。表征爆破速度的参数 lambda (λ) 可与不稳定性的阶数（即解偏离爆破轨迹的独特方式的数量）进行绘图对比。在所研究的不可压缩多孔介质（IPM）方程和 Boussinesq 方程中，该规律清晰可见。这表明存在更多不稳定的解，其假设的 lambda 值均落在同一直线上。

我们通过引入机器学习技术（例如用于训练神经网络的二阶优化器）发现了这些奇点。这些方法使我们的计算精度达到了前所未有的水平。作为参考，我们所处理的最大误差，相当于在预测地球直径时仅存在几厘米的偏差。

此处我们展示了在所研究的某一方程中得到的涡量（Ω）场示例。该物理量用于度量流体在各点的旋转程度。

针对我们发现的所有不稳定性，我们还展示了沿某一轴向穿过该场的一维切片，以呈现不稳定性不断增强的奇点的演化过程。

新方法在广阔的奇点景观中导航

我们的方法基于物理信息神经网络（PINNs）。与依赖海量数据集进行学习的传统神经网络不同，我们训练模型以拟合描述物理定律的方程。网络的输出会持续与物理方程的预期进行比对，并通过最小化“残差”（即其解未能满足方程的程度）来进行学习。

我们对PINNs的应用超越了其作为求解偏微分方程（PDEs）通用工具的常规定位。通过将数学洞察直接融入训练过程，我们得以捕捉到那些长期以来令传统方法束手无策的难以求得的解（如不稳定奇点）。

与此同时，我们开发了一套高精度框架，将PINNs的精度提升至接近机器精度，从而达到了严格计算机辅助证明所要求的精度水平。

计算机辅助数学的新时代

这一突破代表了一种数学研究的新范式，将深刻的数学洞见与前沿人工智能相结合。我们期待这项工作能助力开启一个新时代，使长期存在的挑战得以通过人工智能和计算机辅助证明来攻克。

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致谢

本项工作由以下人员共同完成：Yongji Wang, Mehdi Bennani, James Martens, Sébastien Racanière, Sam Blackwell, Alex Matthews, Stanislav Nikolov, Gonzalo Cao-Labora, Daniel S. Park, Martin Arjovsky, Daniel Worrall, Chongli Qin, Ferran Alet, Borislav Kozlovskii, Nenad Tomašev, Alex Davies 和 Pushmeet Kohli

Tristan Buckmaster, Bogdan Georgiev, Javier Gómez-Serrano, Ray Jiang 和 Ching-Yao Lai。